Дисертація на здобуття ступеня доктора наук за спеціальністю 01.01.01

Тема дисертації:
Властивості класів голоморфних функцій обмеженого індексу
Здобувач:
Андрій Іванович Бандура
Науковий керівник:
Олег Богданович Скасків Доктор наук
Дата захисту:
2018-11-22
Офіційний опонент
професор, доктор фізико-математичних наук Фаворов Сергій Юрійович, професор кафедри фундаментальної математики Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В. Н. Каразiна
Офіційний опонент
старший науковий співробітник, доктор фізико-математичних наук Савчук Віктор Васильович, провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу теорiї функцiй Iнституту математики Нацiональної академiї наук України
Офіційний опонент
професор, доктор фізико-математичних наук Боднар Дмитро Ількович, професор кафедри економiчної кiбернетики та iнформатики Тернопiльського нацiонального економiчного унiверситету
Анотація:

Бандура А. I. Властивостi класiв голоморфних функцiй обмеженого iндексу. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 “Математичний аналiз” (111 — Математика). — Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2018. Дисертацiя складається зi вступу, 7 роздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiджень, сформульовано мету, завдання, предмет, об’єкт та методи дослiдження, наведено наукову новизну, практичне значення отриманих результатiв, зв’язок роботи з науковими темами та особистий внесок здобувача, а також вказано, де апробованi та опублiкованi основнi результати дисертацiї.
У роботi об’єктом вивчення є класи цiлих та аналiтичних в кулi чи у по лiкрузi функцiй обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних чи обмеженого L-iндексу за напрямком. Такi класи є доволi широкими. Про це свiдчать дове- денi теореми iснування. Зокрема, для цiлої функцiї F : Cn → C iснує додатна неперервна функцiя L : Cn → R+ n така, що F — обмеженого L-iндексу за су- купнiстю змiнних, тодi i тiльки тодi, коли F має обмежену кратнiсть нульових точок. Для цiлих та аналiтичних в одиничнiй кулi функцiй вiд декiлькох змiн- них обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних встановлено критерiї прина- лежностi функцiй до вiдповiдних класiв, теореми iснування та iншi властиво- стi, якi описують локальне поводження їхнiх частинних похiдних на кiстяках полiкруга чи коефiцiєнтiв розвинень у степеневий ряд знайдено точнi оцiнки зростання логарифма максимуму модуля таких функцiй на кiстяку полiкруга, причому вдалося покращити одну одновимiрну оцiнку зростання, встановлену М. М. Шереметою.
Знайдено достатнi умови обмеженостi L-iндексу за сукупнiстю змiнних цi- лих та аналiтичних в кулi розв’язкiв систем лiнiйних рiвнянь з частинним3 похiдними вищих порядкiв та отримано точнi оцiнки їхнього зростання через параметри, залежнi вiд коефiцiєнтiв систем. Запропоновано повнiстю новий пiд- хiд у теорiї функцiй вiд декiлькох змiнних обмеженого iндексу — використання вичерпання багатовимiрного простору кулями замiсть полiкругiв, що дозволи- ло виявити новi характеристичнi властивостi функцiй обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних через оцiнку максимуму модуля таких функцiй та їхнiх похiдних на сферi.
Вперше отримано аналоги логарифмiчного критерiю у виглядi достатнiх умов та оцiнки максимуму модуля через мiнiмум модуля для цiлих функцiй обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних. Знайденi обмеження описують поводження частинних логарифмiчних похiдних за усiма змiнними ззовнi де- яких виняткових множин та мiру нульової множини цiлої функцiї в полiкрузi. Дослiджено характеристичнi властивостi цiлих та аналiтичних в одиничнiй кулi функцiй вiд декiлькох змiнних обмеженого L-iндексу за напрямком, зна- йдено точнi оцiнки зростання логарифма максимуму модуля таких функцiй на колi, а також видiлено пiдклас цiлих функцiй необмеженого iндексу за будь- яким напрямком b таких, що на кожнiй зрiзцi вигляду {z 0 + tb : t ∈ C} вони мають обмежений iндекс, та знайдено функцiю L, для якої деякi цiлi функцiї з описаною властивiстю матимуть обмежений L-iндекс за тим самим напрямком. Водночас повнiстю доведено гiпотезу про можливiсть послаблення достатнiх умов обмеженостi L-iндексу за напрямком для цiлих функцiй (оцiнка макси- муму модуля, мiнiмуму модуля на колi, логарифмiчний критерiй) через замiну квантора загальностi на квантор iснування деякого радiуса. Доведено достатнiсть умов у гiпотезi М. М. Шеремети [213] про обмеженiсть l-iндексу деяких композицiй аналiтичних функцiй вiд однiєї змiнної та дано вiдповiдь на питання М. М. Шеремети про обмеженiсть L-iндексу за сукупнiстю змiнних композицiй цiлих функцiй. Отримано достатнi умови обмеженостi l- iндексу цiлих розв’язкiв рiвняння w 0 = f (z, w). Виявлено факт iстотностi умови „F голоморфна в Cn “, тобто, її не можна замiнити на умову „F — голоморфна 4 на усiх зрiзках вигляду z 0 + tb“ у теорiї цiлих функцiй обмеженого L-iндексу за напрямком. Встановлено аналог теореми Хеймана для аналiтичних в полiкрузi функцiй обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних та описано поводження коефiцiєн- тiв розвинення у степеневий ряд таких функцiй. Узагальнено результати Пойя- Клунi про зростання композицiї цiлих функцiй на випадок деяких композицiй аналiтичних функцiй. Дослiджується взаємозв’язок мiж класами функцiй обме- женого lρ -iндексу та функцiями цiлком регулярного зростання через побудову функцiю скiнченного порядку ρ i цiлком регулярного зростання, нулi якої не задовольняють вiдомi умови Левiна C та (C 0) i яка причому має необмежений lρ -iндекс. Запропоновано пiдхiд до введення поняття обмеженостi l-iндексу для мероморфних функцiй.
Узагальнюючи одновимiрнi результати на багатовимiрний комплексний про- стiр, у багатьох випадках нам вдалося досягти покращення нових вiдповiдних одновимiрних наслiдкiв через послаблення достатнiх умов або через уточнення нерiвностей.
Усi результати дисертацiї, якi виносяться на захист, є новими. Вони мають теоретичний характер та можуть бути використанi в багатовимiрному компле- ксному аналiзi, аналiтичнiй теорiї диференцiальних рiвнянь. Ключовi слова: цiла функцiя, аналiтична функцiя, куля, полiкруг, похiдна за напрямком, частинна похiдна, обмежений L-iндекс за сукупнiстю змiнних, обмежений L-iндекс за напрямком, лiнiйне неоднорiдне диференцiальне рiвня- ння n-го порядку, системи лiнiйних рiвнянь з частинними похiдними, розподiл нулiв.

Список опублікованих праць за темою дисертації:

Список опублiкованих праць здобувача за темою дисертацiї

  • [1] Bandura, A.: Composition of entire functions and bounded L-index in direction. Mat. Stud. 47(2), 179–184 (2017). doi: 10.15330/ms.47.2.179-184
  • [2] Бандура, А., Скаскiв, О.: Логарифмiчна похiдна за напрямком та розподiл нулiв цiлої функцiї обмеженого L-iндексу за напрямком. Укр. мат. журн., 69(3), 426-432 (2017). Engl. transl.: Bandura, A., Skaskiv, O.: Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of an entire function of bounded L-index along the direction. Ukr. Math. J. 69(3), 500–508 (2017). doi: 10.1007/s11253-017-1377-8
  • [3] Bandura, A., Skaskiv, O.: Entire functions of bounded L-index: Its zeros and behavior of partial logarithmic derivatives. J. Complex Analysis 2017, 1–10 (2017). Article ID 3253095. doi: 10.1155/2017/3253095
  • [4] Bandura, A., Skaskiv, O.: Analytic in an unit ball functions of bounded L-index in joint vari- ables, Ukr. Mat. Visn., 14(1), 1–15 (2017). Engl. transl.: Bandura, A., Skaskiv, O.: Functions analytic in a unit ball of bounded L-index in joint variables. J. Math. Sci. 227(1), 1–12 (2017). doi: 10.1007/s10958-017-3570-6
  • [5] Bandura, A., Skaskiv, O., Filevych, P.: Properties of entire solutions of some linear PDE’s. J. Appl. Math. Comput. Mech. 16(2), 17–28 (2017). doi: 10.17512/jamcm.2017.2.02
  • [6] Bandura, A.I.: Some improvements of criteria of L-index boundedness in direction. Mat. Stud. 47(1), 27–32 (2017). doi: 10.15330/ms.47.1.27-32
  • [7] Bandura, A.I., Petrechko, N.V.: Properties of power series of analytic in a bidisc functions of bounded L-index in joint variables. Carpathian Math. Publ. 9(1), 6–12 (2017). doi: 10.15330/cmp.9.1.6-12
  • [8] Bandura, A.I., Skaskiv, O.B.: Analytic functions in the unit ball of bounded L-index: asymptotic and local properties. Mat. Stud. 48, (1), 37–73 (2017). doi:10.15330/ms.48.1.37-727
  • [9] Bandura, A.I., Skaskiv, O.B.: Growth of entire functions of bounded L-index in direction. Mat. Met. Phys.-mech. fields 60 (1), 22–31 (2017)
  • [10] Bandura, A., Skaskiv, O.: Asymptotic estimates of entire functions of bounded L-indexjoint variables. Novi Sad J. Math., 48 (1), 103–116 (2018). doi: 10.30755/NSJOM.06997
  • [11] Bandura, A.I.: The properties of entire functions of bounded value L-distribution in direction. Prykarp. Visn. Nauk. Tov. Im. Shevchenka 1(13), 50–55 (2011)
  • [12] Bandura, A.I.: The metric properties of a space of entire functions of bounded L-indexdirection. Prykarp. Visn. Nauk. Tov. Im. Shevchenka 1(17), 46–52 (2012)
  • [13] Bandura, A.I.: A modified criterion of boundedness of L-index in direction. Mat. Stud. 39(1), 99–102 (2013)
  • [14] Bandura, A.I.: A class of entire functions of unbounded index in each direction. Mat. Stud. 44(1), 107–112 (2015). doi: 10.15330/ms.44.1.107-112
  • [15] Bandura, A.I.: Entire function of unbounded index in any real direction. Prykarpatskyi Visn. Nauk. Tov. Im. Shevchenka 1(29), 24–30 (2015)
  • [16] Bandura, A.I.: Properties of positive continuous functions in Cn . Carpathian Math. Publ. 7(2), 137–147 (2015). doi: 10.15330/cmp.7.2.137-147
  • [17] Bandura, A.I.: Sum of entire functions of bounded L-index in direction. Mat. Stud. 45(2), 149–158 (2016). doi: 10.15330/ms.45.2.149-158
  • [18] Bandura, A.I., Bordulyak, M.T., Skaskiv, O.B.: Sufficient conditions of boundedness of L- index in joint variables. Mat. Stud. 45(1), 12–26 (2016). doi: 10.15330/ms.45.1.12-26
  • [19] Bandura, A.I., Petrechko, N.V.: Sum of entire functions of bounded index in joint variables. Electr. J. Math. Anal. Appl. 6(2), 60–67 (2018).
  • [20] Bandura, A.I., Petrechko, N.V., Skaskiv, O.B.: Analytic in a polydisc functions of bounded L-index in joint variables. Mat. Stud. 46(1), 72–80 (2016). doi: 10.15330/ms.46.1.72-80
  • [21] Bandura, A.I., Skaskiv, O.B.: Boundedness of L-index in direction of functions of the form f (hz, mi) and existence theorems. Mat. Stud. 41(1), 45–52 (2014)
  • [22] Bandura, A.I., Skaskiv, O.B.: Open problems for entire functions of bounded index in directi- on. Mat. Stud. 43(1), 103–109 (2015). doi: 10.15330/ms.43.1.103-109
  • [23] Бандура, A.: Добуток двох цiлих функцiй обмеженого L-iндексу за напрямком є фун- кцiєю з того ж класу. Буковин. матем. журн. 4(1-2), 8–12 (2016)
  • [24] Бандура, A., Скаскiв, О.: Метричний простiр Iєра, теорема iснування та цiлi функцiї обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних. Буковин. матем. журн. 5(3-4), 8–14 (2017)
  • [25] Бандура, A., Петречко, Н.: Властивостi степеневого розвинення цiлої функцiї обмеже- ного L-iндексу за сукупнiстю змiнних. Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. Вип. 82, 27–33 (2016)
  • [26] Бандура, А.: Новi критерiї обмеженостi L-iндексу за сукупнiстю змiнних для цiлих фун- кцiй. Мат. вiсник НТШ 13, 58–67 (2016)
  • [27] Bandura, A.I., Sheremeta, M.M.: Bounded l-index and l − M -index and compositionsanalytic functions. Mat. Stud. 48 (2), 180-188 (2017). doi: 10.15330/ms.48.2.180-188
  • [28] Bandura, A.: Bounded l-index and infinite products of infinite genus. Visn. Lviv Un-ty, Ser. Mech. Math. Issue 84, 71–79 (2017).
  • [29] Bandura, A.I.: Analytic functions in the unit ball of bounded value L-distribution in a di- rection. Mat. Stud. 49 (1), 75–79 (2018). doi: 10.15330/ms.49.1.75-79
  • [30] Bandura, A., Skaskiv, O.: Entire functions of several variables of bounded index. Publisher I. E. Chyzhykov, Chyslo, Lviv (2016)
  • [31] Bandura, A., Skaskiv, O.: Analytic functions in the unit ball. Bounded L-index in joint vari- ables and solutions of systems of PDE’s. LAP Lambert Academic Publishing, Beau Bassin (2017)


Дисертація

Відгук Фаворова С.Ю.

Відгук Савчука В.В.

Відгук Боднара Д.І.


Останнє оновлення: 2018-11-11

Нормативні документи Вимоги Документи для захисту Пам'ятка для опонентів
Корисні посилання

© Розробник сайту Олена Гринів