Дисертація на здобуття ступеня кандидата наук за спеціальністю 01.01.04

Тема дисертації:
Нескінченновимірні многовиди, модельовані на ін’єктивних границях абсолютних екстензорів
Здобувач:
Орислава Євгенівна Поливода
Науковий керівник:
Михайло Михайлович Зарічний професор Доктор наук
Дата представлення:
2021-03-02
Експертна комісія:
Микитюк І.В., Никифорчин О.Р., Радул Т.М.
Дата кваліфікаційного семінару:
2021-02-04
Дата захисту:
2021-05-13
Офіційний опонент
Доктор фізико-математичних наук, доцент кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Карлова Олена Олексіївна
Офіційний опонент
Доктор фізико-математичних наук, професор кафедри алгебри, геометрії та математичного аналізу Херсонського державного університету Савченко Олександр Григорович
Анотація:

Дисертація присвячена дослідженню класів нескінченновимірних многовидів, модельні простори яких є прямими (ін'єктивними) границями абсолютних екстензорів у категоріях топологічних просторів. Зокрема, розглядалися многовиди, модельовані на зліченній прямій границі евклідових просторів $\mathbb R^\infty=\varinjlim \mathbb R^n$ (ін'єктивно-евклідові многовиди) та прямій границі гільбертових кубів та $Z$-кладень $Q^\infty=\varinjlim Q^n$. Такого типу многовиди вивчали Гейзі, Торуньчик, Сакаї, Пенцак, Банах, Зарічний та інші математики. К. Сакаї довів характеризаційну теорему для $\mathbb R^\infty$- та $Q^\infty$-многовидів, М. Зарічний побудував універсальне відображення $\mathbb R^\infty\to Q^\infty$.
Ми запроваджуємо модельний простір, що є прямою границею послідовності тихоновських кубів зростаючих ваг. Він є аналогом для вищих ваг прямої границі гільбертових кубів. Доводимо для такого простору характеризаційну теорему і встановлюємо деякі його топологічні властивості, зокрема топологічну однорідність і локальну самоподібність. Ці властивості дають змогу розглядати многовиди, модельовані на прямій границі тихоновських кубів. У дисертації доводиться характеризаційна теорема для таких многовидів, а також теореми про відкрите і замкнене вкладення у модельний простір.
Також, розглядається сильно зліченновимірний аналог прямої границі тихоновських кубів і для многовидів, модельованих над цим аналогом також доводяться характеризаційні теореми. Нарешті, будується універсальне відображення одержаного сильно зліченновимірного простору в ін'єктривну границю тихоновських кубів. Доведено характеризаційну теорему для такого універсального відображення. Це відображення дає змогу побудувати сильно зліченновимірну резольвенту ін'єктивно-тихоновських многовидів.
Досліджено збереження функторіальними конструкціями нескінченновимірних многовидів, що є локально сильно універсальними просторами для класу метризовних компактних просторів зі скінченною скінченновимірною похідною (теорія таких многовидів побудована Т. Банахом).
Частина результатів дисертації присвячена аналогам у категорії $k_\omega$-просторів поглинаючих множин Т. Радула для класу компактних метричних просторів, для яких трансфінітне розширення покриттєвого (лебегового) виміру $\dim_C$ не перевищує заданого зліченного ординального числа. Доведено характеризаційні теореми для одержаних просторів та многовидів, модельованих на них. Також доведено теореми про відкрите вкладення у модельні простори для таких многовидів.
Запропонована загальна конструкція модельних просторів нескінченновимірної топології, яка дозволяє з єдиної точки зору описати деякі класи нескінченновимірних многовидів і уніфікувати деякі загальні теореми, що стосуються таких многовидів.

Список опублікованих праць за темою дисертації:

1. Shabat O. Universal maps of k-spaces. / Shabat O., M.Zarichnyi// Математичні студії. – 2004.– Т. 21. – №1. – C.71-80. (Поливода О.Є. – усі результати, окрім леми 2.1, яка належить співавторові Зарічному М.М.)
2. Banakh T. A uniform approach to producing model spaces of infinite-dimensional topology. / Banakh T., Shabat O., M.Zarichnyi // General Topology, Geometric Topology and their application. – Research Institute for Mathematical Sciences. – Kyoto University. – 2007. – 1531. – P.68-74. (Поливода О.Є. – усі результати, окрім твердження 2.5 та наслідку 2.6, які належать співавторові Зарічному М.М., та окрім теореми 2.8, яка належить співавторові Банаху)
3. Shabat O. Manifolds modeled on countable direct limits of absolute extensors. / Shabat O., M.Zarichnyi// Travayx mathématiques. – Université du Luxembourg.– 2008.– Volume XVIII. – P.111-123. (Поливода О.Є. – усі результати, окрім твердження 4.3, яке належить співавторові Зарічному М.М.)
4. Banakh T. A universal model infinite-dimensional spaces. / Banakh T., Shabat O., M.Zarichnyi // Topology. – 2009. – Volume 48, issues 2-4. – P. 186-196. (Поливода О.Є. – усі результати, окрім твердження 2.5 та наслідку 2.6, які належать співавторові Зарічному М.М., та окрім теореми 2.8 та лем 5.1, 5.2, 5.4, 6.1, які належать співавторові Банаху)
5. Shabat O. Functors and manifolds modeled on some kω-spaces / Shabat O., M.Zarichnyi // Вісник Львів. універ. Серія механіко – математична. – 2018. – вип. 85. – C.41-47. (Поливода О.Є. – усі результати, окрім теореми 2 та леми 2, які належать співавторові Зарічному М.М.)
6. Polivoda O. Infinite-dimensional manifolds related to C-spaces. / O.Polivoda, M.Zarichnyi // Proceeding of the international Geometry Center. – 2020. – 13(3). – P.49-57. (Поливода О.Є. – усі результати, окрім теореми 3.6, яка належить співавторові Зарічному М.М.)


Дисертація

Автореферат

Відгук Карлової О.О.

Відгук Савченка О.Г.


Останнє оновлення: 2021-04-28

Нормативні документи Вимоги Документи для захисту Пам'ятка для опонентів
Корисні посилання

© Розробник сайту Олена Гринів