Дисертація на здобуття ступеня кандидата наук за спеціальністю 01.01.04

Тема дисертації:
Функтори і асимптотичні властивості метричних просторів
Здобувач:
Михайло Миколайович Романський
Науковий керівник:
Михайло Михайлович Зарічний професор Доктор наук
Дата захисту:
2021-05-13
Офіційний опонент
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, член-кореспондент НАН України, Максименко Сергій Іванович, завідувач лабораторії топології у складі відділу алгебри та топології інституту математики НАН України
Офіційний опонент
доктор фізико-математичних наук, професор Никифорчин Олег Ростиславович, завідувач кафедри алгебри та геометрії Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника
Анотація:

Дисертація присвячена сучасній області топології, яка останніми десятиліттями інтенсивно розвивається - асимптотичній топології (прийнято також термін "груба геометрія"). Вона присвячена вивченню крупно масштабних інваріантів метричних просторів та, більш загально, грубих структур (модифікаціями останніх є так звані боллеани, які запровадив і досліджував І. В. Протасов).
Ця галузь топології має свої витки також і в геометричній теорії груп. Так М. Громов означив поняття асимптотичного виміру скінченнопородженої групи, яке знайшло застосування у розв'язуванні певних відкритих проблем алгебраїчної топології. Також були означені модифікації асимптотичного виміру Громова (асимптотичний вимір Ассуада-Нагати, асимптотичний підстепеневий вимір).
Природно, що дослідження асимптотичних властивостей метричних просторів вимагає включення їх у певну категорію. Найважливішими для застосування є асимптотичні категорії А. Дранішнікова і Дж. Роу, для яких означено і досліджено різноманітні функторіальні конструкції.
Однією з важливих задач асимптотичної топології є класифікація функторіальних конструкцій з точністю до губої еквівалентності. У цьому напрямку лежать результати дисертації. Дранішніков запропонував поняття асимптотичного добутку та означив конус, надбудову і джойн в асимптотичних категоріях. Ми показали, що асимптотичний конус $C \mathbb{R}_+$ і надбудова $\sum \mathbb{R}_+$ не є ізоморфними та встановили ізоморфність джойна $X*\mathbb{R}_+$ та декартового добутку $X\times \mathbb{R}_+$, для випадків коли $X$ є $n-$ мірним евклідовим простором або $\gamma-$ слабо опуклим та $\delta-$ слабо вгнутим геодезійним простором. З результатів дисертації варто відзначити ті, що стосуються грубої еквівалентності (тобто еквівалентності в асимптотичній категорії Дж. Роу) функторiальних конструкцій. Для прикладу, розглянуто гіперпростори (простори компактних підмножин) евклідових просторів і показано, що вони не є грубо еквівалентні гіперпросторам континуумів (зв'язних компонентів) та гіперпросторам опуклих компактів.
У дисертації доведено, що гіперпростори $\exp _3\,\mathbb{R_+}$, $\exp _3\,\mathbb{R}$, симетричні степені $SP^3\,\mathbb{R_+}$, $SP^3\,\mathbb{R}$ та $\mathbb{R}_+^3$ ліпшицево еквівалентні.
Гіперпростір $\exp _2\,\mathbb{R}^m$ та простір $\mathbb{R}^m \times \mathrm{Cone} \ (\mathbb{R}P^{m-1})$ є ліпшицево еквівалентними. Цей результат можна вважати грубим аналогом одного результату Шорi.
Поняття асимптотичного добутку породжує конструкції симетричного степеня $\widetilde{SP}^n(X)$, гіперпростору $\widetilde{exp}_n(X)$, простору ймовірнісних мір $\widetilde{P}_n(X)$ та суперрозширення $\widetilde{\lambda}_n(X)$ в асимптотичних категоріях. У дисертації доведено, що гіперпростір $\widetilde{\exp}_3(\mathbb{R}^2)$ ізоморфний $\mathbb{R}^4$ у категорії $\mathcal{A}$. Цей результат є асимптотичним аналогом теореми Р.Ботта, яка стверджує, що $\exp_3\ S^1$ гомеоморфне $S^3$.
Ми також довели ізоморфність в асимптотичній категорії $\mathcal{A}$ наступних пар просторів:
- другий симетричний степінь $\widetilde{SP}^{2}(\mathbb{R}^2)$ та конус над листом Мебіуса $\mathrm{Cone}(M);$
- простір ймовірнісних мір $\widetilde{P}_2(\mathbb{R}^2)$ та евклідів простір $\mathbb{R}^4;$
- суперрозширення $\widetilde{\lambda}_3(\mathbb{R}^2)$ та евклідів простір $\mathbb{R}^4;$
- проективний квадрат $Pr^2(\mathbb{R})$ та надбудова $\sum \mathbb{R}_+.$

Список опублікованих праць за темою дисертації:

1. Зарiчний М.М., Романський М.М., Савченко О.Г.: Функтори скiнченного степеня у асимптотичних категорiях. Працi мiжнародного геометричного центру . — 2015. – Т.8(1). –С. 84-92.
2. Zarichnyi M., Romanskyi M.: Asymptotic properties of the (convex) hyper-spaces. Proceedings of the International Geometry Center Vol. 8, no. 3-4 (2015) 60-64.
3. Zarichnyi M., Romanskyi M.: Cone and join in the asymptotic categories. Visnyk of the Lviv Univ. Series Mech. Math. 2017. Issue 83. P. 34-41.
4. Zarichnyi M., Romanskyi M.: On coarse equivalence of the hyperspaces of euclidean spaces. Visnyk of the Lviv Univ. Series Mech. Math. 2017. Issue 84. P. 67-70.
5. Romanskyi M.: Coarse equivalences of functorial constructions. Proceedings of the International Geometry Center Vol. 12, no. 3 (2019) P. 69–77.


Дисертація

Автореферат

Відгук Максименка С.І.

Відгук Никифорчина О.Р.


Останнє оновлення: 2021-04-28

Нормативні документи Вимоги Документи для захисту Пам'ятка для опонентів
Корисні посилання

© Розробник сайту Олена Гринів