Дисертація на здобуття ступеня кандидата наук за спеціальністю 01.01.04

Тема дисертації:
Топологізація та розширення груп, біциклічних напівгруп та їх варіантів
Здобувач:
Катерина Миколаївна Пстрий
Науковий керівник:
Олег Володимирович Гутік доцент Кандидат наук
Експертна комісія:
Базилевич Л. Є., Никифорчин О. Р., Сторож О. Г.
Дата кваліфікаційного семінару:
2021-03-02
Дата захисту:
2021-05-13
Офіційний опонент
Доктор фізико-математичних наук, доцент кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Карлова Олена Олексіївна
Офіційний опонент
Доктор фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри алгебри та геометрії Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника Никифорчин Олег Ростиславович
Анотація:

Дисертаційна робота присвячена дослідженню топологізацій напівгруп, алгебраїчні властивості яких близькі до біциклічного моноїда, а також структури замикання таких напівгруп і груп у напівтопологічних і топологічних напівгрупах. Зокрема розглядаються розширена біциклічна напівгрупа, біциклічне розширення $\mathscr{B}(A)$ непорожньої трансляційної множини $A$ лінійно впорядкованої групи та варіанти біциклічного моноїда та розширеної біциклічної напівгрупи.
У дисертації доведено, що довільний варіант $\mathscr{C}_{m,n}$ біциклічного моноїда $\mathscr{C}(p,q)$ допускає лише дискретну гаусдорфову трансляційно неперервну топологію, і якщо напівгрупа $S$ містить $\mathscr{C}_{m,n}$ як щільну власну піднапівгрупу, то $S\setminus\mathscr{C}_{m,n}$ є ідеалом у $S$. Це узагальнює аналогічні результати Ебергарта-Селдена, отримані для біциклічного моноїда $\mathscr{C}(p,q)$. Також доведено дихотомію: довільна гаусдорфова локально компактна трансляційно неперервна топологія на біциклічному моноїді з приєднаним нулем є або компактною, або дискретною. Описано приєднання компактного ідеала до довільного варіанта біциклічної напівгрупи $\mathscr{C}_{m,n}$ у локально компактній напівтопологічній напівгрупі.
Доведено, що група автоморфізмів розширеної біциклічної напівгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ ізоморфна адитивній групі цілих чисел, всі варіанти напівгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ є попарно ізоморфними, а також, що напівгрупа $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ і всі її варіанти не є скінченно породженими. Описано гаусдорфові трансляційно неперервні топології на варіантах напівгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$, а також показано, що на варіантах напівгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$, на відміну від варіантів біциклічного моноїда, існують недискретні гаусдорфові напівгрупові топології.
Наведено конструкцію, з якої випливає, що на відміну від біциклічного моноїда, для гаусдорфової локально компактної напівтопологічної розширеної біциклічної напівгрупи з приєднаним нулем $\mathscr{C}^0_{\mathbb{Z}}=\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}\sqcup\{0\}$ не виконується дихотомія: існує континуум різних гаусдорфових недиск\-ретних некомпактних локально компактних трансляційно неперервних топологій на $\mathscr{C}^0_{\mathbb{Z}}$. Однак кожна гаус\-дорфова локально компактна напівгрупова топологія на напівгрупі $\mathscr{C}^0_{\mathbb{Z}}$ є дискретною.
Введено поняття трансляційної множини лінійно впорядкованої групи, а також біциклічного розширення $\mathscr{B}(A)$ трансляційної множини $A$ лінійно впорядкованої групи $G$, і досліджуються алгебраїчні властивості напівгрупи $\mathscr{B}(A)$. Доведено, що для довільної зліченної лінійно впорядкованої групи $G$ та її непорожньої трансляційної множини $A$, кожна берівська трансляційно неперервна $T_1$-топологія на $\mathscr{B}(A)$ диск\-ретна, а також, що для довільної лінійної нещільно впорядкованої групи $G$ і непорожньої трансляційної множини $A$ кожна трансляційно неперервна гаусдорфова топологія на напівгрупі $\mathscr{B}(A)$ дискретна.
Доведено, що кожна гаусдорфова трансляційно неперервна локально компактна топологія на дискретній електорально гнучкій нескінченній групі з приєднаним нулем $G^0$ є або дискретною, або компактною. Наведено приклад, що на кожній віртуально циклічній групі (а такі групи є електорально стійкими) з приєднаним нулем $G^0$ існують недискретні некомпактні локально компактні трансляційно неперервні топології, які індукують на групі $G$ дискретну топологію.

Список опублікованих праць за темою дисертації:

  1. Gutik O. On semitopological interassociates of the bicyclic monoid / O. Gutik, K. Maksymyk // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична -- 2016. -- Вип. 82. -- С. 98--108.
  2. Gutik O. On variants of the extended bicyclic semigroup / O. Gutik, K. Maksymyk // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична -- 2017. -- Вип. 84. -- С. 22--37.
  3. Gutik O. On semitopological bicyclic extensions of linearly ordered groups / O. Gutik, K. Maksymyk // Journal of Mathematical Sciences -- 2019. -- Vol. 238, №. 1. -- P. 32--45.
  4. Gutik O. On a semitopological extended bicyclic semigroup with adjoined zero / O. Gutik, K. Maksymyk // Математичні методи та фізико-механічні поля -- 2019. -- Т. 62, №. 4. -- С. 28--38.
  5. Максимик К. Про локально компактні групи з нулем / К. Максимик // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична -- 2019. -- Вип. 88. -- С. 51--58.


Дисертація

Автореферат

Відгук Карлової О.О.

Відгук Никифорчина О.Р.


Останнє оновлення: 2021-05-07

Нормативні документи Вимоги Документи для захисту Пам'ятка для опонентів
Корисні посилання

© Розробник сайту Олена Гринів