Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

 

 

 

Кафедра                геометрії і топології

 

Факультет                механіко-математичний

 

 

 

“Затверджую”

 

Декан                ____________________________

           

                                                                                                                “ ___ “ _________________2005р

 

 

 

Робоча навчальна програма

 

 

Предмет          Додаткові розділи сучасної математики

Спеціальність          математика

Факультет          механіко-математичний

Форма навчання          стаціонар

 

 

Витяг з навчального плану

 

№ семестру

К-сть аудиторних годин

В тім числі

К-сть годин самостійної роботи

Контрольні роботи

Залік

Іспит

Л

П, С

Лр

9

64

64

 

 

 

 

 

+

Всього

64

64

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянуто

 

Рекомендовано

на засіданні кафедри

 

вченою радою факультету

геометрії і топології

 

 

 

 

 

“ ___ “ _________ 2005  р.

 

“ ___ “ _________ 2005  р.

 

 

 

Протокол №___

 

Протокол №___

 

 

 

Завідувач кафедри

 

Голова вченої ради факультету

_________ проф. Зарічний М.М.

 

_________    ________________

 

Анотація

 

   Курс “Додаткові розділи сучасної математики” є одним з курсів, які ле­жать в основі математичної освіти. В цьому курсі для студен­тів механіко-мате­матичного факультету передбачається пода­ти деякі факти та основні положення одного з напрямів сучасної математики, а саме – теорії алгебраїчних чисел, а також виробити в студентів основні на­вич­ки розв’язу­ван­ня задач. Отри­ма­ні знання надалі використовуються студен­та­ми в наукових дослідженнях.

 

 

 

Зміст

Елементи теорії цілих раціональних чисел. Порівняння. Абелеві групи. Абелеві групи в теорії цілих раціональних чисел. Алгебра числових полів. Подільність алгебраїчних чисел. Ідеали. Застосу­ван­ня ідеалів. Одиниці числових полів. Трансцендентні методи.

 

 

                                                       .
IХ семестр

1.

Елементи теорії цілих раціональних чисел.

2

 

 

 

 

Подільність. Найбільший спільний дільник. Модулі. Прості числа. Основна теорема теорії чисел.

 

 

 

 

2.

Порівняння.

4

 

 

 

 

Порівняння і класи лишків. Цілочисельні поліноми.  Функціональні порівняння. Подільність за модулем р. Порівняння першого степеня.

 

 

 

 

3.

Абелеві групи.

6

 

 

 

 

Загальне поняття про групу. Операції над елементами групи. Підгрупи. Розкладання групи на суміжні класи по даній підгрупі. Абелеві групи.  Добуток двох абелевих груп. Базис абелевої групи. Композиція суміжних класів. Факторгрупи. Характери абелевих груп. Нескінченні абелеві групи.

 

 

 

 

4.

Абелеві групи в теорії цілих раціональних чисел.

6

 

 

 

 

Групи цілих чисел по додаванню і по помноженню. Струк­тура групи класів по модулю n, взаємно простих з n. Степеневі лишки. Характери лишків по модулю. Квадратичні характери по модулю n.

 

 

 

 

5.

Алгебра числових полів.

4

 

 

 

 

Числове поле. Поліноми в числових полях. Незвідність. Алгебраїчні числа відносно поля k. Алгебраїчні числові поля над k. Твірні числа поля. Фундаментальні системи. Підполя.

 

 

 

 

6.

Подільність алгебраїчних чисел.

12

 

 

 

 

Визначення цілих алгебраїчних чисел. Подільність. Оди­ни­ці. Цілі числа поля як абелева група. Базис та дис­к­ри­мі­нант. Розкладання цілих чисел поля на множ­ни­ки. Найбільші спільні дільники, що не належать полю.

 

 

 

 

7.

Ідеали.

6

 

 

 

 

Визначення й основні властивості ідеалів. Основна тео­ре­ма теорії ідеалів. Перші застосування основної теоре­ми. Порівняння і класи лишків за ідеалами. Група класів лишків по додаванню і множенню.

 

 

 

 

8.

Застосування ідеалів.

6

 

 

 

 

Поліноми з цілими алгебраїчними коефіцієнтами. Перший тип законів розкладання для раціональних простих чисел. Розкладання в квадратичних числових полях. Другий тип законів розкладання для раціональних простых чисел. Дробові ідеали.

 

 

 

 

9.

Одиниці числових полів.

        12

 

 

 

Теорема Мінковського про лінійні форми. Класи ідеалів і групи класів. Ідеальні числа. Одиниці. Верхня границя для числа основних одиниць. Теорема Діріхле про точ­не число основних одиниць. Диференти і дискри­мінан­ти. Відносні поля. Зв'язок між ідеалами в різних полях. Від­носні норми чисел та ідеалів. Відносні  диференти і відносні дискримінанти. Закони розкладання у віднос­них полях.

 

 

 

10

Трансцендентні методи.

         6

 

 

 

Щільність ідеалів у класі. Щільність ідеалів і число класів. Дзета-функція Дедекінда. Розподіл простих ідеалів першого степеня, зокрема, раціональних простих чисел в арифметичних прогресіях.

 

 

 

 

Рекомендована література

1.      С. Ленг. Алгебраїчні числа. Москва: Мир, 1966.