Міністерство освіти і науки України
Кафедра геометрії і топології
Факультет механіко-математичний
“Затверджую”
Декан ____________________________
“ ___ “ _________________2005р
Предмет Додаткові розділи
сучасної математики
Спеціальність математика
Форма навчання стаціонар
№ семестру |
К-сть аудиторних годин |
В тім числі |
К-сть годин самостійної роботи |
Контрольні роботи |
Залік |
Іспит |
||
Л |
П, С |
Лр |
||||||
9 |
64 |
64 |
|
|
|
|
|
+ |
Всього |
64 |
64 |
|
|
|
|
|
|
Розглянуто |
|
Рекомендовано |
на засіданні кафедри |
|
вченою радою факультету |
геометрії і топології |
|
|
|
|
|
“ ___ “ _________ 2005 р. |
|
“ ___ “ _________ 2005 р. |
|
|
|
Протокол №___ |
|
Протокол №___ |
|
|
|
Завідувач кафедри |
|
Голова вченої ради факультету |
_________ проф. Зарічний М.М. |
|
_________ ________________ |
Курс
“Додаткові розділи сучасної математики” є одним з курсів, які лежать в основі
математичної освіти. В цьому курсі для студентів механіко-математичного факультету
передбачається подати деякі факти та основні положення одного з напрямів
сучасної математики, а саме – теорії алгебраїчних чисел, а також виробити в
студентів основні навички розв’язування задач. Отримані знання надалі
використовуються студентами в наукових дослідженнях.
Зміст
Елементи теорії цілих раціональних чисел. Порівняння. Абелеві групи. Абелеві групи в теорії цілих
раціональних чисел. Алгебра числових полів.
Подільність алгебраїчних чисел. Ідеали. Застосування ідеалів. Одиниці
числових полів. Трансцендентні методи.
.
IХ
семестр
1. |
Елементи теорії цілих
раціональних чисел. |
2 |
|
|
|
||
|
Подільність. Найбільший спільний
дільник. Модулі. Прості числа.
Основна теорема теорії чисел. |
|
|
|
|
||
2. |
Порівняння. |
4 |
|
|
|
||
|
Порівняння і
класи лишків. Цілочисельні поліноми. Функціональні порівняння. Подільність
за модулем р.
Порівняння першого степеня. |
|
|
|
|
||
3. |
Абелеві групи. |
6 |
|
|
|
||
|
Загальне поняття про групу. Операції над елементами групи.
Підгрупи. Розкладання групи на суміжні класи по даній підгрупі. Абелеві групи.
Добуток двох абелевих
груп. Базис
абелевої групи. Композиція суміжних класів. Факторгрупи. Характери абелевих груп. Нескінченні
абелеві групи. |
|
|
|
|
||
4. |
Абелеві групи в теорії цілих
раціональних чисел. |
6 |
|
|
|
||
|
Групи цілих
чисел по додаванню і по помноженню. Структура групи класів по модулю n, взаємно простих з n. Степеневі лишки. Характери
лишків по модулю. Квадратичні характери по модулю n. |
|
|
|
|
||
5. |
Алгебра числових полів. |
4 |
|
|
|
||
|
Числове
поле. Поліноми в числових полях. Незвідність. Алгебраїчні числа відносно поля
k. Алгебраїчні числові поля над k. Твірні числа поля. Фундаментальні системи. Підполя. |
|
|
|
|
||
6. |
Подільність алгебраїчних чисел. |
12 |
|
|
|
||
|
Визначення
цілих алгебраїчних чисел. Подільність. Одиниці. Цілі числа поля як абелева група. Базис та дискримінант.
Розкладання цілих чисел поля на множники. Найбільші спільні дільники, що не
належать полю. |
|
|
|
|
||
7. |
Ідеали. |
6 |
|
|
|
||
|
Визначення
й основні властивості ідеалів. Основна теорема
теорії ідеалів. Перші застосування основної
теореми. Порівняння і класи лишків за ідеалами. Група класів лишків по додаванню і множенню. |
|
|
|
|
||
8. |
Застосування ідеалів. |
6 |
|
|
|
||
|
Поліноми з цілими алгебраїчними коефіцієнтами.
Перший тип законів розкладання для раціональних простих чисел. Розкладання в квадратичних числових полях. Другий тип законів розкладання
для раціональних простых чисел. Дробові
ідеали. |
|
|
|
|
||
9. |
Одиниці числових полів. |
12 |
|
|
|||
|
Теорема Мінковського
про лінійні форми. Класи ідеалів
і групи класів. Ідеальні числа. Одиниці.
Верхня границя для числа
основних одиниць. Теорема Діріхле про точне число основних одиниць. Диференти і дискримінанти. Відносні поля. Зв'язок між
ідеалами в різних полях. Відносні норми чисел та ідеалів. Відносні диференти і відносні
дискримінанти. Закони розкладання у відносних полях. |
|
|
|
|||
10 |
Трансцендентні
методи. |
6 |
|
|
|||
|
Щільність
ідеалів у класі. Щільність
ідеалів і число класів. Дзета-функція
Дедекінда. Розподіл простих ідеалів першого степеня,
зокрема, раціональних простих
чисел в арифметичних прогресіях. |
|
|
|
|||
1.
С. Ленг. Алгебраїчні числа. Москва: Мир, 1966.